Propiedades de la multiplicacion
Ya que conocemos el procedimiento que se lleva a cabo para multiplicar, es hora de conocer tres propiedades importantes al momento de realizar dicha operación.
La propiedad conmutativa:
La familia Giraldo Monsalve esta conformada por cuatro personas, tla madre, el padre y dos niños que son sus respectivos hijos. Ellos en su hogar suelen sentarse en la mesa la cual cuenta con cuatro sillas que están respectivamente numeradas del 1 al 4. Un día puede que el padre se siente en la silla número tres, la madre en la número dos y sus hijos en las sillas uno y cuatro, al día siguiente otras diferentes y al siguiente otras. Bueno, pues sin importar en que silla se sienten no cambiará ningún otro aspecto de su vida, siempre serán la familia Giraldo Monsalve y tendrán las mismas funciones. Este es el sentido de la propiedad conmutativa, sin importar el orden en que se realice la operación el resultado siempre será el mismo.
Miremos la siguiente imagen:
si analizamos la imagen lo que nos dice es que si sumamos 2 + 3 es igual que sumásemos 3+ 2, sin importar en que orden estén los factores el resultado siempre serán 5 .
Aunque estemos hablando de multiplicación y en el dibujo se muestra una suma, hemos mostrado también que para la suma se cumple la propiedad conmutativa.
Miremos ahora con un ejemplo que requiera de la multiplicación.
Doña María quiere vender 50 paquetes de arepas, para fijarse un plan de trabajo piensa que lo que puede hacer es:
Podría trabajar cinco días y vender diez paquetes de arepas diarias. 5 x (10)
O podría trabajar diez días y vender cinco paquetes de arepas diarias. 10 x (5)
Luego decide vender 56 paquetes de arepas así que lo que puede hacer es:
Podría trabajar siete días y vender ocho paquetes de arepas diarias. 7 x (8)
O podría trabajar ocho días y vender siete paquetes de arepas diarias. 8 x (7)
Efectivamente con el ejemplo de doña María podemos corroborar que la propiedad conmutativa se cumple en la multiplicación. Recordemos que la multiplicación es una forma más efectiva de sumar y de contar, luego, teniendo esto presente hagamos el siguiente ejercicio:
- Para contar no requerimos de un orden establecido, eso quiere decir que al contar podremos empezar por cualquier elemento y llegar al mismo resultado.
- Con la gráfica anterior de las peras vimos que tampoco es importante el orden a la hora de sumar, y esto es debido a que la suma contiene en si un método de conteo.
Ahora, podemos utilizar los enunciados que están subrayados para concluir que la multiplicación es también conmutativa, pero también podemos hacer un análisis a partir de nuestra razón aunque sin lenguaje matemático y llegar a la misma conclusión, cosa que es mucho más importante debido a que se aborda la propiedad de forma general y con los ejemplos no, ya que solo aborda ejemplos específicos.
Contar es una operación que no requiere de alguna formula matemática, consta simplemente de enumerar diversos elementos para conocer cual es el total de ellos, luego, la suma es la reunión de diversos conjuntos y tal es la relación con el conteo y tan familiar para nosotros que nuestras primeras sumas se tratan de tomar un número y a partir de esa cifra contamos con los dedos el número de elementos de debemos sumar.
Volviendo a la oración “La suma en si, es un método de conteo” preguntamos ¿Es la multiplicación en si, un método de la suma? Por supuesto, ya lo hemos demostrado en la anterior unidad y al escribir una operación (la suma) en forma de la otra (la multiplicación) sus propiedades se derivan, es decir proceden o vienen de la primera, en este caso de la adición.
De esta forma podemos comprobar de forma general que la propiedad conmutativa es valida para cualquier número entero.
Por el momento no haremos la demostración en el lenguaje matemático, porque requerimos otras herramientas para su desarrollo, no obstante el primer paso es entender lo que hemos hecho para luego ir al siguiente paso antes mencionado.
Después de ver algunos ejemplos podemos concluir que:
La propiedad conmutativa :
El orden de los factores no altera el resultado tanto para la suma como para la multiplicación.
A x B = B x A
En este punto recordaremos una notación de la multiplicación para explicar una de sus propiedades y además estudiaremos una nueva.
Una de las notaciones que vimos representaba la multiplicación por medio de paréntesis:
Podemos hacerlo con letras puesto que simbolizan cualquier número
Y la nueva notación que veremos es posible realizarla en algunos casos, que a continuación veremos:
Esta nueva forma de interpretar el producto o multiplicación se diferencia de las otras porque no precisa de símbolos como << x >>, << . >> y << ( ) >> de hecho no requiere.
Donde es posible verificar que entre a y b no existe un signo que indique que se están multiplicando.
El único inconveniente con esta forma de notación ( ab ) es que no es posible emplearla cuando estamos trabajando exclusivamente con números y no es por una cuestión matemática, es solo porque puede traernos confusiones.
Si vamos a multiplicar 7 x 6 y queremos utilizar la nueva notación, quedaría 76, sabemos que 7 x 6 = 42 y también podemos decir que 76 puede ser 42 pero es más fácil equivocarnos y pensar que es un número y no una multiplicación, entonces caeríamos en un error, por eso no se usa cuando son números, no obstante la podemos emplear cuando es un número y una letra.
La propiedad conmutativa con la nueva notación
ab = ba
Ejemplo:
Sean a, b y c números distintos entre si, diga cuáles de las siguientes ecuaciones cuales cumplen con la propiedad conmutativa de la multiplicación.
ab = ba cumple, pues viéndolo con números
a = 3 y b = 5
3 x 5 = 15 y 5 x 3 = 15
usando la propiedad conmutativa encuentre el valor de k :
| k × 6 = 5 × 6 | k es igual a |
| 4k = 3 × 4 | k es igual a |
| 7k = 0 | k es igual a |
| 3k = 2 × 3 | k es igual a |
| 3 × 10= 2k × 3 | k es igual a |
| 2k x 5 = 10 x 5 | k es igual a |
La propiedad asociativa :
Digamos que Juan, Diego y camilo deben recorrer dos kilometro diarios para ir desde su vereda al lugar donde estudian. Un día a Diego le da curiosidad saber cuantos kilómetros recorre solo yendo en total los cinco días de la semana que estudia, lo que hace es multiplicar 5 x 2, al contarle a sus compañeros que recorre diez kilómetros solo yendo ellos le preguntan Cuantos kilómetros recorrerían si sumaran lo que camina cada uno. Lo que hace ahora Diego es multiplicar 3 x 10 kilómetros osea 30 kilómetros en total.
Miremos lo que Diego hizo:
Primero multiplico los días de la semana que estudia por los kilómetros que camina cada día y el resultado lo multiplico por el número de personas que son, osea:
( 5 x 2 ) x 3 = 30
10 x 3 = 30
¿Qué hubiese ocurrido si Diego hubiese multiplicado primero el número de personas que son por los días de la semana que estudian y luego por los kilómetros que caminan?, miremos lo que ocurriría:
( 3 x 5 ) x 2 = 30
15 x 2 = 30
miremos otra combinación posible que se le hubiese ocurrido a Diego:
( 3 x 2 ) x 5 = 30
6 x 5 = 30
Como vemos sin importar el orden en que agrupo los números para multiplicarlos el resultado siempre será el mismo. Lo anterior es la propiedad asociativa.
La propiedad asociativa :
El modo de agrupar los factores no varía el resultado.
(a x b) x c = a x (b x c) o (ab)c = a(bc)
usando la propiedad asociativa encuentre el valor de y :
| (y × 4) × 3 = 3 × (4 × 7) | y es igual a |
| 2 × (y × 6) = (2 × 6) × 4 | y es igual a |
| b × (y × 2) = (3 × 5) × 2 | y es igual a |
| 3 × (21 × y) = (3 × 21) × 4 | y es igual a |
| 3 × (10 x y) = (3 x 10) x 7 | y es igual a |
| (2y x 5) x 6 = 10 x (6 x 5) | y es igual a |
La propiedad Distributiva:
Andrés y Francisco ayudan en su hogar recogiendo café cada vez que tienen disponibilidad, después de haber trabajado 6 días recogiendo café les da curiosidad saber cuanto café han recogido durante todos esos días, Andrés dice que cada día recogió 1 kilogramo y Francisco dice que cada día recogió 2 kilogramos , lo que deben hacer para saber cuanto café recogieron en un día es sumar 2 + 1 pero ya que son 6 días entonces deben multiplicar por ese número de días, la operación que resultara es:
Ahora lo unico que tienen que hacer es multiplicar 6 por cada sumando osea el 2 y el 1 y a su vez sumar ese resultado, miremos:
= 12 + 6
= 18.
así la cantidad de café que recogieron durante 6 días son 18 kilogramos.
Lo que acabamos de ver es la propiedad distributiva y consiste en multiplicar un número por la suma de otros dos. El procedimiento se realiza como vimos anteriormente.
¿Y aquí puede aplicarse la propiedad?
2 ( 1 + 3 + 5 + 7 ) = ?
a ( b + c + d + e ) = (ab) + (ac) + (ad) + (ae)
¿Son posibles? argumenta
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La propiedad distributiva :
Bueno, la propiedad distributiva es multiplicar un número por cada uno de los números que conforman una suma. a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
Imagine que le piden que multiplique 4 x 35, bueno es acá cuando la propiedad distributiva de la multiplicación nos puede ayudar, pues lo que debemos hacer será pensar que 35 es igual que 5 +30 y esto lo multiplicaremos por 4 y así será mucho mas rápido realizar la operación, claro siempre y cuando se practique, miremos el ejemplo anterior :
4 x 35 = 4 x (5 + 30) = (4 x 5) + (4 x 30) = 20 + 120 = 140
En cada uno de los siguientes casos encuentre el valor de z usando la propiedad
distributiva de la multiplicación:
| z × (5 + 3) = (5 × 9) + (3 × 9) | z es igual a |
| z × (3 + 1)= 12 + 4 | z es igual a |
| 8 × (z + 5) = (8 × 4) + (8 × 5) | z es igual a |
| z × (3 – 1)= 21 – 7 | z es igual a |
| 6(1 + z ) = 6 | z es igual a |
| 2( 5 - z ) = (2 x 5) - (2 x 6) | zes igual a |
Hablemos de la multiplicación:
En el lenguaje común la palabra multiplicación es ampliamente utilizada para describir fenómenos sociales o naturales en crecimiento, por ejemplo el alto crecimiento de la población a nivel mundial, de las plantas, especies animales, la reproducción de las células que no es más que su multiplicación, los movimientos sociales que surgen en todo nuestro territorio para la exigencia de una vida más dignas, la multiplicación de comunidades y de personas que ponen en práctica maneras alternativas de vivir, de organizarse y de educarse.
Aquí debemos recordar la multiplicación con números negativos, puesto que esta no representa solamente incrementos, sino también decrecimiento y aunque en nuestro lenguaje no se ve de esa manera no quiere decir que no se presente. ¿Podrías decir en que fenómenos se presentan decaimientos? ¿Serías tu capaz de multiplicar o reproducir algo? Y ¿Como lo harías?
Podemos ayudar en la segunda pregunta, pues todos tenemos algo que reproducir, algo que multiplicar, un ejemplo de ello es la capacidad que tenemos de aprender y de replicar eso que aprendimos, eso sería multiplicar el conocimiento, reproducirlo ¿no? ¿Y cuanto conocimiento existe? Imposible de medir, pero no imposible de compartir y no nos referimos únicamente a las matemáticas, también a las artes, la, a la filosofía, a las ciencias, en si a la cultura y a cualquier conocimiento o aprendizaje que pueda engrandecernos y engrandecer a nuestra comunidad sin perder de vista nuestras raíces y nuestras metas.
Y así como existe el conocimiento que nos eleva o nos encumbra, existe asimismo ese conocimiento que nos degrada como personas y como comunidad, por fortuna siempre tenemos la capacidad de decidir que queremos reproducir, que queremos multiplicar.
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