Ecuaciones
En las unidades anteriores estudiamos la multiplicación y la división; y estás al igual que la suma y la resta hacen parte de las cuatro operaciones aritméticas, ahora aprenderemos a resolver ecuaciones que contengan dichas operaciones.
Procedamos a definir de forma muy sencilla lo que es una ecuación:
Una ecuación es una expresión que representa una igualdad.
8 + 3 = 11
21 - 4 = 10 + 7
Las ecuaciones son expresiones matemáticas en las que se muestran datos conocidos o constantes y datos desconocidos, variables o incognitas, relacionadas entre si por las operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación y división).
Ecuación con suma y resta: 13 – 11 = 1 + 1
Ecuación suma, resta y variable: 21 – 1 = X + 5
Ecuación suma, resta y variable: 2X - 7 = X – 6
Ecuación con multiplicación: 26 – 6 = 4 (5)
Ecuación con multiplicación y variable; 35 – 5 = 5X
(usar imagen de la zuncho)
Debemos tener en cuenta que cuando encontramos una multiplicación en una ecuación tenemos que aplicar la división para hallar el valor de la variable y si se muestra una división lo que tenemos que aplicar es la multiplicación; más adelante veremos la razón.
En el constante estudio de las matemáticas nos topamos con muchas ecuaciones sin llegar a saberlo:
en el estudio de las tablas de multiplicar todas aquellas expresiones son ecuaciones, asimismo;
esta también es una ecuación y de hecho cualquier operación que utilicemos para encontrar algún valor numérico que necesitemos es una ecuación, por ejemplo cuando requerimos comprobar el dinero que nos sobra de algo que compramos:
Sabemos que en las ecuaciones pueden presentarse las cuatro operaciones básicas, pero la forma en que se representan varían un poco, esta variación puede apreciarse en la primera imagen de este texto, sin embargo profundicemos un poco.
La multiplicación se mostrará así:
Ya no utilizaremos X como símbolo del producto o multiplicación, sino
Multiplicación entre dos números 2 . 5 = 2 (5)
Multiplicación entre un número y una variable 2X
y la división se mostrará de la siguiente manera:
10 / 2 = (usar libreofficice math para representar 10 / 2)
Las sumas y restas se siguen representando de la misma forma.
(Dar ejemplos de ecuaciones)
- Ejemplo
Don Leo, un campesino del Oriente Antioqueño, es un hombre que se dedica a cultivar y comercializar naranjas, en el municipio de Tamesis “la tierra del siempre volver”. Cada semana Don leo vende sus naranjas en la plaza principal del pueblo.
Un día de tantos, después de un largo día de trabajo, vende 24kg y le quedaron 8kg de naranjas. Al final de la jornada quiere saber cuantos kilogramos tenia al comenzar el día.
Para resolver este ejercicio, debemos sacar los datos que se conocen, en este caso la cantidad en kilogramos de naranjas que vendió y la cantidad que le quedó:
Los kilogramos de naranjas que vendió: 24 kg
Los kilogramos de naranjas que le quedaron al final: 8 kg
Los kilogramos de naranjas que tenía al principio: ?
luego de identificar las variables y datos conocidos, debemos relacionarlos de ta manera que la expresión tenga sentido. Esto puede hacerse porque las ecuaciones pueden representar situaciones de la vida cotidiana, así como el ejemplo de Don Leo.
Anteriormente se determinaron los datos e incógnitas, ahora vamos a establecer la relación; no sabemos cuantos Kg tenía al principio, pero si cuantos vendió, por lo tanto restamos esos Kg vendidos a la cantidad desconocida:
también conocemos la cantidad de Kg al final del día, 8 Kg, por ende esos 8 Kg son el resultado entre la resta de la variable y los 24 Kg que pudo vender Don Leo
Para hallar el valor de la incógnita (x), que es la cantidad de naranjas que tenía Don Leo al comienzo del día, lo que debemos hacer es despejarla de los valores que ya conocemos, de la siguiente manera:
tenemos la ecuación x - 24 = 8 la estrategia es dejar la variable completamente sola en uno de los lados del igual, en este caso la incógnita esta acompañada por - 24 entonces tenemos que cancelarlo o volverlo '0 (cero) y la única forma de hacerlo es sumando a ambos lados del igual la misma cantidad:
el próximo paso es realizar las operaciones que hay en la ecuación, para al lado izquierdo del igual una resta y al lado derecho una suma.
sabemos que - 24 + 24 = 0 por lo tanto la ecuación queda así
X = 8 + 24
X = 32 ===> Solución.
La cantidad de Kg al inicio del día que tenía Don Leo es 32 Kg.
Para este caso resolvimos el problema sumando un número a ambos lados de la ecuación, en otra situación es posible que lo que tengamos que hacer es restar a ambos lados e incluso multiplicar y dividir, por eso debemos tener presente que no podemos proceder siempre de la misma forma porque todos los problemas no son iguales, se sugiere que en cada ecuación analice para luego saber como despejar la variable.
Ejemplos de las cuatro situaciones que podemos encontrar:
El primer caso lo vimos en el ejercicio anterior, sumar a ambos lados del igual.
Segundo caso
x + 3 = 13 ==> Restar a ambos lados
x + 3 - 3 = 13 - 3 ==> x = 10
Tercer caso
x/3 = 4 ==> Multiplicar a ambos lados x/3 * 3 = 4 * 3 ==> x = 12
Cuarto caso
2x = 14 ==> Dividir a ambos lados
2x / 2 = 14 / 2 ==> x = 7
También es probable encontrar varios casos en una sola ecuación, pero ese tipo de problemas los abordaremos mas adelante.
Si observamos bien en cada uno de los ejemplos dependiendo del ejercicio se suma o se resta o se utiliza cualquier operación a ambos lados del igual, nunca en un solo lado, esto es porque las ecuaciones deben conservar un equilibrio y si solo sumamos o restamos a un lado del igual estaremos alterando dicho equilibrio.
Viéndolo desde con otra perspectiva estaríamos añadiendo o disminuyendo elementos sin tener en cuenta los errores que estaríamos cometiendo, por eso es indispensable que en cada ecuación a resolver las operaciones se hagan a ambos lados del igual.
Las ecuaciones son más que números e incógnitas, son también una representación de fenómenos naturales que podemos llegar a predecir y a entender.
- Ejercicio
a). Don leo Vendió 40 kg de naranjas antier.
b). Ayer vendió el doble de kilogramos de naranjas que antier.
c). Y finalmente el día de hoy, vendió al medio día 15 kilogramos de naranjas más que ayer.
¿Cuántos kilogramos de naranjas vendió Don leo cada día, si la suma total es de 215 kilogramos naranjas?
Don leo además de ser un comerciante de naranjas, también cultiva alimento para el consumo de su familia y necesita saber en que espacio lo esta haciendo. Para nosotros saber eso, consultamos con Don Leo y él nos dijo:
“Este lugar ha sido de mi familia por mas de 3 generaciones, ahora esta en mis manos y quiero hacer de ella un sustento para mi familia; de lo único que tengo certeza es que el terreno tiene la misma medida del ancho de la casa que es de 80 m y de largo es 4 veces mas que el ancho”. Con base a lo que hablamos con Don Leo podemos sacar los siguientes datos:
Ancho: 80 metros
Largo: 4 (80) metros => para los ejercicios de áreas podemos interpretar la altura y el largo como si fueran lo mismo.
Area: X
Recordemos: Para hallar el área del rectángulo, debemos multiplicar el ancho por su altura: Área = a * b (base * altura)
No sabemos con exactitud cual es valor exacto de la altura pero nos dicen que es cuatro veces mas que el ancho y el ancho es de 80 m, así que cuatro veces es 4 * 80 es decir que la altura es de 320 m
Área = b * a ==> a = 320 ; b = 80 A = 80 * 4(80) ==> multiplicamos 4 por 80 A = 80 * 320 ==> El valor de la incógnita, altura. A = 80 * 320 ==> El punto indica multiplicación, se expresa así para no confundirlo con la variable A = 25600 m² m² = metros cuadrados ==> unidad que sirve para medir áreas
(colocar ejercicios sencillos de ecuaciones, estos deben tener enunciado)
Reflexión
Podemos decir que en el mundo existe una cantidad de dinero constante, es decir que esta no disminuye, ni aumenta en su totalidad, lo que varia es las cantidad que maneja cada persona. Y al principio todos trabajaban las mismas horas y ganaban la misma cantidad de dinero, pero con el tiempo se desarrollaron nuevas técnicas y tecnologías para mejorar las condiciones de trabajo, sin embargo en lugar de compartir todos esa maravillosa innovación, unos pocos se apropiaron de dichas técnicas y tecnologías y ya no se trabajaba igual que antes, los que eran pocos no trabajaban y ganaban mas dinero que aquellos que si trabajaban.
Entonces si el dinero que había era constante quienes ganaban mas debían sacarlo de alguna parte, por supuesto del trabajo de los otros, es decir que si unos ganan mucho otros deben ganar poco para que el equilibrio se mantenga y así como en este ejemplo pasa en nuestra realidad, los campesinos y obreros somos explotados por aquellos que poseen la tierra, las fabricas, las técnicas y las tecnologías; y en nuestra vida como en las matemáticas todo viene de alguna parte y al irse debe parar en algún lugar y en medio de todo ello existe una ecuación que relaciona todos esos elementos. Ahora posible entonces decir porque algunos son tan afortunados y son tantos los que viven en pobreza.
Recuerda
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También
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En este juego podremos trabajar desde la suma hasta la multiplicación, la división y ecuaciones, se puede empezar desde un nivel básico para luego ir avanzando por los diferentes mundos impidiendo que la lluvia de 
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