Areas y volumenes
Usualmente solemos escuchar las palabras “área” y “volumen” ¿a qué se refieren con estos términos?, ¿cómo se emplean?, ¿donde se emplean? La idea de esta unidad es que comprendas estos dos conceptos y así tú también los puedas aplicar en tu vida
El área se puede definir como la superficie de una figura , imaginemos un terreno cercado, todo lo que este dentro de la cerca será su área, en cambio lo que este por fuera de esta ya no hará parte del área. Es importante tener en cuenta sus unidades por ejemplo cm², m², km² ….
Supongamos que deseamos saber el área de un terreno el cual tiene medidas de 6 u de largo y 6 u de ancho. Tenga en cuenta que la u son unidades. Si deseamos saber el área de nuestro terreno solo debemos contar las unidades exactas que caben dentro de el
Después de contar nos damos cuenta que hay exactamente 36 unidades cuadradas. Pero para que hacer todo este proceso de contar uno a uno cuando sabemos que la multiplicación es un método de conteo mucho mas rápido y efectivo, así que el procedimiento sería multiplicar 6u x 6u = 36u² (unidades cuadradas).
De la manera igual manera calcule el área de los siguientes terrenos:
A partir de lo anterior podemos decir que:
Tal vez parezca algo inútil pero no es así. Imagina que desean decorar un poco tu hogar poniéndole baldosa al suelo, a la hora de comprar los materiales hay dos formas de saber cuanto llevaremos, una forma es simplemente dejarse llevar por el parecer y el resultado de esto sería comprar mas o menos material, la otra forma es calcular el área del terreno y dividirlo por el área de una baldosa, de esta ultima manera de seguro tendríamos un resultado mucho mas preciso.
Calculemos el resultado de los siguientes cuadrados recuerde que las unidades de área son elevadas al cuadrado (cm², m², km² …).
Como vemos el área no solo se limita a una sola unidad, ¿Crees que se puede saber cual es la equivalencia de una medida en otra unidad de medida distinta a la suya? Por ejemplo si tenemos un terreno 50000 m² ¿ a Cuánto equivale esto en hectáreas? Miremos:
La hectárea (ha) el prefijo hecto significa «cien» y es una medida de superficie equivalente a 100 áreas o 10000 m² (metros cuadrados).
Sabiendo esto para saber cuanto son 50000 m² en hectáreas lo que debemos hacer es el siguiente procedimiento:
una hectárea son 10000 m²
ahora:
Ahora para practicar convierta a m²:
10.5 ha 6.2 ha 8.6 ha
Pero también podemos convertir m² a otras unidades, por ejemplo a plazas. Miremos:
1 Plaza = 6400 m²
convirtamos 60000 m² a plazas
Supongamos que se tienen 5 terrenos A, B, C, D y E cuyas áreas son 6.3 plazas, 5 ha, 25000 m²,
3000 m² y 600 km² respectivamente. A partir de esto calcule el área de las diferentes combinaciones de terrenos que aparecen en la siguiente tabla y exprese su resultado en la unidad de medida que s
e indica.
| A + D | E + B + A | C - D | E + C | B + D | C + A + D + B | |
| Resultado de la combinación | ||||||
| Unidad de medida | km² | m² | ha | Plazas | ha | km² |
Escala:
Miremos un sencillo ejemplo de que es y que representa una escala: Si observamos el siguiente dibujo podemos decir que su tamaño es de 1 unidad , pero en comparación con el objeto real este estará reducido 10 unidades.
La relación se representa así 1:10 lo que indica que para conocer el tamaño real del objeto debemos multiplicarlo por 10.
Entonces, si el largo del machete en el dibujo mide 10 cm la medida del machete real sera 100 cm. Así que podríamos decir que una escala es la relación que existe entre las medidas o dimensiones reales de un objeto y las de un dibujo que representa la realidad. Podríamos tomar por Escala como reducir o aumentar el tamaño de un objeto sin que este pierda sus proporciones o la relación que existe entre sus lados en el resultado final.
Por ejemplo: Supongamos que tenemos una casa en tamaño real (Figura A) y la deseamos escalar de manera que el dibujo ocupe el tamaño de una hoja de cuaderno, el resultado final seria el dibujo a su lado (Figura B).
| Real | Escala |
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Como podemos apreciar hemos reducido el tamaño de la casa sin que esta pierda su proporción, podremos decir entonces que hemos escalado la casa.
Con este ejemplo podemos dar una idea intuitiva de lo que es una Escala, pero para ser mas exactos podemos pensar en los planos de una casa o edificio y también en las distancias que aparecen en los mapas, si alguna vez hemos visto un mapa este nos dirá la escala a la cual esta dada la relación con el territorio en la realidad.
Mapa con escala de reducción 1:250.000 lo que significa que cada centímetro del mapa son 2.5 Kilómetros en la realidad.
En el ejemplo anterior nos dan dos medidas, una en centímetros y la otra Kilómetros, lo cual quiere decir que debemos saber como cambiar de unidades de medida.
Continuando con el estudio de las áreas miremos que pasa si cortamos un cuadrado o un rectángulo por toda su diagonal.
Lo que obtendríamos sería dos triángulos rectángulos. Un triangulo rectángulo es aquel que cuenta con un ángulo recto ( que mide 90°) sus otros dos ángulos siempre son agudos ( que miden menos de 90°), ya que sabemos que un triangulo es la mitad de un rectángulo podremos decir su formula es:
Base x altura pero ya que solo es la mitad de un rectángulo dividiremos esto en 2 así el área del triangulo es:
Calcule el área de los siguientes triángulos:
A partir de esto podemos conocer otra figura, el paralelogramo este es un cuadrilátero (que tiene cuatro lados) cuyos lados opuestos son paralelos y tienen la misma longitud, además sus ángulos interiores no son rectos ( que miden 90°).
La siguiente figura nos muestra que si partirnos desde un vértice hasta la horizontal obtenemos la altura del paralelogramos.
Lo que podríamos hacer para encontrar su área es recortar este triangulo rectángulo y completar la figura para que así calculemos el área de un rectángulo.
examinemos el circulo.
Partamos de un cuadrado, como ya sabemos cuenta con cuatro lados ¿ qué pasará si empezamos a incrementar sus lados indeterminadamente? Observemos:
Círculo
Así es como nace el circulo, ahora miremos sus partes.
El Radio: es el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia, y por extensión también se dice de la longitud de éste.
El diámetro: es el segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro. El diámetro divide al círculo en dos partes iguales.
Circunferencia: línea curva cerrada cuyos puntos equidistan de otro situado en el mismo plano que se llama centro.
Ya sabiendo esto supongamos que tenemos tres objetos circulares, un plato, una tapa de gaseosa y un vaso, necesitamos saber cual es la longitud de su circunferencia, lo que primero se nos puede atravesar por la cabeza es medirlos , llenemos la siguiente tabla:
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Pero este procedimiento de medir es bastante tedioso además de largo, intentemos una nueva forma y a partir de los resultado comparemos.
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Como podemos apreciar cuando multiplicamos el diámetro de cada objeto por 3.14 nos da un resultado muy aproximado a la longitud de circunferencia que obtuvimos midiendo en la tabla anterior, esto demuestra que hay una forma mas rápida de obtener la longitud de circunferencia de un circulo, que el resultado no de exactamente no significa que este mal el procedimiento, esto pasa ya que no contamos con instrumentos de medida que nos den una certeza total de las medidas, por lo tanto podemos decir que:
Longitud de la circunferencia : 3.14 x Diámetro del circulo.
¿Sabes de a donde proviene el numero 3.14?, A este número se le conoce como pi y es representado por el símbolo π. El número Pi es el valor del cociente de la división de la longitud de una circunferencia entre su diámetro. Su valor aproximado es 3,14 pero en realidad π tiene infinitos decimales algunos de ellos son:
En la antigüedad, para el descubrimiento de este número las personas de aquella época hacían un circulo en la arena median su longitud de circunferencia y la dividían por su diámetro, con el paso de los tiempos esta teoría se fue fortaleciendo y hoy por hoy podemos decir que en todo circulo la longitud de su circunferencia dividido por su diámetro siempre dará pi. Con todo lo anterior claro ahora si averigüemos como calcular el área de un circulo
Ahora si queremos aplicar estas ideas del mundo abstracto al nuestro, encontraremos figuras que no tienen una formula para saber cual es su área, en ese caso podremos separar esa figura de forma extraña a unas figuras mas pequeñas que ya conocemos y con las cuales hemos trabajado con nuestro tutor o compañeros.
Digamos que tenemos un espacio para hacer piscicultura y tiene la siguiente forma:
para saber cual es el área del estanque debemos separar o descomponerlo en figuras que conozcamos, en este caso podemos ver que nuestro terreno tiene la forma de un Rectángulo y la mitad de un círculo (semi-círculo).
Como ya hemos trabajado con estas figuras antes sabemos que el área de un Rectángulo es bxh y la de un círculo es Pi(r) ² y como es medio círculo lo dividimos en 2, luego el área total es la suma de las áreas que encontramos de forma separada.
En la figura nos indican que la base del Rectángulo mide 19 y la altura 12, ahora si hacemos la separación podemos calcular las áreas por separado y luego sumarlas para hallar el área total:
Sabemos también que la altura del Rectángulo es el diámetro del semi-círculo y que el Radio es la mitad del diámetro:
Altura = Diametro ; (solo para este caso)
Radio = Diametro/2
Radio = 12/2 = 6
Área del semicirculo: Pi(r)² = Pi(6)² ; (recordemos que Pi = 3.14)
Entonces el área total es: área Rectángulo + área semi-círculo:
Ahora analicemos la siguiente figura:
por ejemplo, para esta figura podemos separarla en un semi-círculo, un triangulo y un rectángulo.
Ahora inténtalo con esta:
Recuerda, siempre que tengas que hallar el área de un terreno complicado debes descomponerlo en figuras comunes.
Contenido
Vídeos sugeridos
https://www.youtube.com/watch?v=JfSHpD9mWCc
https://www.youtube.com/watch?v=wRdvxPOnyM4
Volúmenes
El volumen de un objeto es el espacio que ocupa, también podemos decir que es la capacidad de almacenamiento que tiene. Por ejemplo el volumen de una cubeta es la cantidad de agua que puede almacenar y para medir el volumen usamos unidades elevadas a la 3 (m³, cm³, dm³ , entre otras).
Como vimos antes hay áreas que tienen formas muy complejas para ser medidas, de manera similar hay cuerpos que debemos descomponer en otros cuerpos mas pequeños y conocidos para calcular su volumen. Hagamos un repaso de las figuras comunes:
si echamos un vistazo sobre las formulas podemos ver que para todos los cuerpos (menos la esfera), se puede hallar el volumen multiplicando el área de la base y la altura del cuerpo.
Esta información es muy útil porque el prisma es un caso especial, el prisma puede tener una base en forma de triangulo, cuadrado (como la imagen en este documento), etc.
Por eso para hallar el volumen de un prisma encontramos el área de la base y la multiplicamos por su altura.
Descomposición
Si quisiéramos calcular el volumen de un lápiz únicamente con las anteriores figuras, podríamos hacerlo?
Por supuesto que sí, porque un lápiz como el de la imagen esta construido con un cono (en la punta), un cilindro (la parte de color amarillo) y media esfera (el borrador), así que tenemos que hallar el volumen del cono, del cilindro y la media esfera, para luego sumarla y el resultado es el volumen de todo el lápiz.
Hagamos el ejercicio juntos, toma un lápiz u objeto similar y procedamos:
vamos a separar el lápiz en tres partes, si quieres puedes usar la imaginación o partir un lápiz.
Primero separamos la punta que representa un cono, luego el cilindro y la media esfera que es el borrador.
ahora para hallar el volumen del cono (la punta) medimos su altura h y el radio r y aplicamos la formula.
Para el cilindro necesitamos también un radio r su altura h, pero el radio del cilindro y del cono es el mismo por lo tanto no tenemos que volver a medir el radio.
Para la media esfera solo necesitamos el radio, pero el radio es el mismo que el de los demás cuerpos así que no tenemos que volver a medir.
Ya para terminar sumamos el volumen de las tres figuras y el resultado es el volumen total.
Sencillo!!!
De manera igual se hace con todos los cuerpos.
Vídeo sugeridos
https://www.youtube.com/watch?v=wNVyN30MjZQ
Escala y repaso de conversión de unidades
Miremos un sencillo ejemplo de que es y que representa una escala:
Si observamos el siguiente dibujo podemos decir que su tamaño es de 1 unidad , pero en comparación con el objeto real este estará reducido 10 unidades.
La relación se representa así 1:10 lo que indica que para conocer el tamaño real del objeto debemos multiplicarlo por 10.
Entonces, si el largo del machete en el dibujo mide 10 cm la medida del machete real sera 100 cm.
Así que podríamos decir que una escala es la relación que existe entre las medidas o dimensiones reales de un objeto y las de un dibujo que representa la realidad. Podríamos tomar por Escala como reducir o aumentar el tamaño de un objeto sin que este pierda sus proporciones o la relación que existe entre sus lados en el resultado final.
Por ejemplo:
Supongamos que tenemos una casa en tamaño real (Figura A) y la deseamos escalar de manera que el dibujo ocupe el tamaño de una hoja de cuaderno, el resultado final seria el dibujo a su lado (Figura B).
| Real | Escala |
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Como podemos apreciar hemos reducido el tamaño de la casa sin que esta pierda su proporción, podremos decir entonces que hemos escalado la casa.
Con este ejemplo podemos dar una idea intuitiva de lo que es una Escala, pero para ser mas exactos podemos pensar en los planos de una casa o edificio y también en las distancias que aparecen en los mapas, si alguna vez hemos visto un mapa este nos dirá la escala a la cual esta dada la relación con el territorio en la realidad.
Mapa con escala de reducción 1:250.000 lo que significa que cada centímetro del mapa son 2.5 Kilómetros en la realidad.
En el ejemplo anterior nos dan dos medidas, una en centímetros y la otra Kilómetros, lo cual quiere decir que debemos saber como cambiar de unidades de medida.
Conversión de unidades:
La conversión de unidades es el proceso por el cual podemos pasar de una unidad de medida a otra, por ejemplo pasar de kilómetros (Km) a su respectivo valor en centímetros (cm). Recordemos que hay medidas de longitud, de área, volumen, masa y demás, que pueden transformarse en otras.
Longitud:
Es una magnitud que nos sirve para medir distancias, también hace referencia a la medida de un objeto en una sola dirección.
Para realizar la conversión es necesario conocer el equivalente entre las diversas medidas, por ejemplo un metro (m) equivale a 100 centímetros (cm). A continuación haremos un repaso de los factores de conversión mas importantes o comunes:
terámetro (Tm): 10¹² =1 000 000 000 000 m
gigámetro (Gm): 10⁹ = 1 000 000 000 m
megámetro (Mm): 10⁶ = 1 000 000 m
kilómetro (km): 10³ = 1,000 m
hectómetro (hm): 10² =100 m
decímetro (dm): 10⁻¹ metros ó 1m = 10 dm
centímetro (cm): 10⁻² metros ó 1m = 100 cm
milímetro (mm): 10⁻³ metros ó 1m = 1000 mm
pie (ft): 30.48 cm
milla (mi):1.6 km
Masa:
Hemos definido como materia todo aquello que tiene masa y ocupa un lugar en el espacio. En el sistema métrico, las unidades utilizadas para medir la masa son, normalmente, los gramos, kilogramos o miligramos.
1 Kg = 1000 g
1 g = 1000 mg
1 Ton = 1000 Kg
1 Lib = 453.6 g
1 Kg= 2.2 lib
1 arroba = 25 lib
I oz= 28 g
UNIDADES DE TIEMPO Y CONVERSIONES
1 h= 60 min = 3600 seg
1 min = 60 seg
1 día= 24 h = 1440 min= 86400 seg
1 semana= 7 dias
1 año= 52 semanas= 12 meses= 365 días
1 década = 10 años
1 siglo= 100 años
1 milenio = 1000 años
LA TEMPERATURA
Es una propiedad de la materia que está relacionada con la sensación de calor o frío que se siente en contacto con ella.
EL VOLUMEN:
El volumen de un objeto es el espacio que ocupa, también podemos decir que es la capacidad de almacenamiento que tiene. Por ejemplo el volumen de una cubeta es la cantidad de agua que puede almacenar y para medir el volumen usamos unidades elevadas a la 3 (m³, cm³, dm³ , entre otras).
1 m3 = 1 000000 cm3
1 m3= 1000 dm3
1 m3= 1000 l
1 l = 1 dm3
1 ml= 1 cm3
1 galón = 3.785 l
1 botella= 780 ml
1 cucharada= 5 ml
1 l = 1000 ml = 1000cm3
Ejemplo 1: -Digamos que Pedro recorre 3 Km desde su finca hasta el lugar donde estudia y desea saber cuanto son 3 Km en centímetros, Para esto recurre a la conversión de unidades.
Primero pone lo que desea convertir: 3 Km
en este caso, primero se debe pasar de kilómetros a metros (m), tenemos que 1 km equivale 1000 m luego este será el factor de conversión así que multiplicará los 3 Km por una fracción 1000m/1 Km donde el denominador será las unidades a cancelar y en el numerador su equivalente.
3 Km * 1000m/1 Km = ? (recordar multiplicación de fraccionarios)
operando tendríamos que:
cancelamos los Km con Km y multiplicamos 3*1000 m lo que seria igual a 3000 m.
como Pedro desea llegar a centímetros ahora se deberán pasar los 3000 m a centímetros, teniendo en cuenta que el factor de conversión en esta ocasión cambia puesto que 1 m son 100 cm, esta vez el procedimiento quedaría así:
3000 m * 100cm/1m
ahora cancelamos metros con metros y multiplicamos 3000 * 100 cm lo que sera igual a 300.000 cm. Después de esta conversión Pedro se da cuenta que los 3 km que recorre desde su finca hasta el lugar donde estudia también son 300.000 cm pero no solo podemos hacer conversiones entre medidas de longitud también podemos realizar conversiones entre unidades de volumen. -supongamos que deseamos convertir 5 metros cúbicos (m³) a centímetros cúbicos (cm³) primero debemos tener en cuenta que 1 m son 100 cm si estamos hablando de unidades de longitud, pero ya que hablaremos de unidades de volumen debemos elevar esta fracción al cubo osea (100 Cm/1 m)³ lo que es igual a:
(100cm)³ = 1'000'000 cm ³
(1 m)³ = 1 m³ lo que nos quedaría seria:
5 m³ * 1'000'000 cm ³/1 m³ =?
se cancelan m³ con m³ y procedemos a operar 5*1'000'000 Cm³ divido entre 1 el resultado final es igual 5'000'000 Cm³.
La conversión de unidades a la hora de hacer una escala: Ya que a la hora de hacer un objeto a escala no nos podemos dejar llevar por la intuición ya que el objeto escalado debe ser exacto o en su defecto lo mas aproximado con la realidad es acá donde entra la conversión de unidades.
Ejemplo 1
Digamos que un joven desea hacer una maqueta a escala del edificio Coltejer ubicado en la ciudad de medellín el cual tiene una altura de 175 m desde su base hasta la ultima punta del edificio, el joven desea que el dibujo inicial para la maqueta le quede con una altura del tamaño de una hoja de papel la cual tiene una altura de 25 Cm, el joven desea saber cual es la relación que hay entre la hoja y el edifico para así poder escalar los demás lados del edificio.
- Debido a que si se trabaja con las unidades de metros y centímetros no se podrá obtener el resultado correcto, primero se debe hacer la conversión de unidades bien sea de la altura del edificio a centímetros o la altura de la hoja a metros, en este caso convertiremos la altura del Coltejer a Cm de la siguiente manera:
175,00 m * 100 Cm / 1 m = 17500 Cm
- luego para obtener la relación de la escala entre las dos alturas haremos lo siguiente:
17500 Cm / 25 Cm = 700
Ejemplo:
Un médico prescribe una dosis de 0,1 g de cierta medicina. ¿cuántas tabletas de 0,25 mg se deben tomar para completar la dosis?
0,1 g * 1000 g/ 1 g = 500 mg* 1 tableta / 25 mg = 20 tabletas
para saber cuantas tabletas se necesitan, hacemos un factor de conversión el cual nos dice que una tableta tiene 25 mg de medicina.